CAMPAÑA DE GAUSS

                                                      CAMPAÑA DE GAUSS 

Campana de Gauss , es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. Se conoce como curva o campana de Gauss o distribución Normal.

La campana de Gauss es empleada en estadística y probabilidad, y debe su nombre a su descubridor, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss.

a campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.

HISTORIA

Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las matemáticas Carl Friedrich Gauss , realmente la distribución normal la descubrió y publico por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros se llama la distribución de Moivre – Gauss) en un artículo del año 1733, que reprodujo en la segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” (1738) como aproximación de la distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por Pierre-Simon de Laplace en su libro “Teoría analítica de las probabilidades” (1812).

El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.

El nombre de "campana" se lo dio Esprit Jouffret que uso este término (bell surface) (superficie campana) por primera vez en 1872.

ECUACIONES

La campana de Gauss está definida por la función

PROPIEDADES

• El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

• Es simétrica respecto a la media µ.

• Tiene un máximo en la media µ.

• Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

• En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

• El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

• El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

• Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

• La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

APLICACIONES

Una de las mayores aportaciones al cálculo integral que realizó Gauss, fue la introducción de esta función. Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

• Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

• Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

• Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

• Caracteres [Psicología|psicológicos]], por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

• Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

DISTRIBUCION DE LA POBLACION

El estudio sobre la distribución normal lo comenzó de Moivre a finales del siglo XVIII, aunque toma el nombre de Carl Friedrich Gauss (considerado por la comunidad científica como el matemático más prolífico de la historia), puesto que fue el primero que aplicó esta herramienta, concretamente, en el análisis de datos astronómicos.

La Campana de Gauss es una función con tres partes diferenciadas: la zona media, en cuyo centro se encuentra el valor de la media y es cóncava; y los dos extremos, que son convexos y tienden a aproximarse al “eje x”.

La importancia de esta distribución, reside en que aparece constantemente en la naturaleza o en la actitud de las personas, puesto que representa el comportamiento de los valores de ciertas variables, cuyas variaciones son influenciadas por fenómenos aleatorios.

Este hecho, se debe a la forma acampanada y simétrica que posee su función de densidad, que hace que los elementos más comunes son los que están más centrados, mientras que los más raros se sitúan en los extremos.